Фамилия Больных образована от прозвища Больной. Очевидно, что так обычно называли физически нездорового человека. Суффикс -ых характерен для фамилий Севера России. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Больной, со временем получил фамилию Больных.