Фамилия Болотенко образована по распространённой в восточной Украине модели — с суффиксом -енко, который в XVI–XVII веках означал «сын» или «потомок» (Болотенко — «сын Болота»). Это типичная украинская фамилия, а не русская: суффикс -енко почти не встречается в великорусских землях, зато массово закрепился на Левобережье Днепра, в Полтавской, Черниговской, Харьковской губерниях.

Основа фамилии — прозвище Болото. В прямом смысле так могли назвать человека, жившего у болота, в сырой низине, где грязь не просыхала месяцами. Такие прозвища по месту жительства (Гора, Дол, Поле) давали, чтобы отличить одного соседа от другого — без иронии, просто как топографическую метку.

Менее правдоподобна версия о языческом имени Болото. Сторонники этой гипотезы связывают его со словом «болотник» (водяной, дух болота) и считают, что имя давали ребёнку с пожеланием красоты и здоровья. Однако прямых письменных подтверждений, что Болото было распространённым дохристианским именем, нет. В древнерусских именословах встречаются «болотные» имена (например, Болотник в новгородских берестяных грамотах), но они скорее прозвищные, а не охранительные. Первая версия — прозвище по месту жительства — выглядит проще и убедительнее.

Обратите внимание на однокоренные фамилии: Болотников, Болотов, Болотский. Первая — с суффиксом -ник- и -ов- указывает на прозвище Болотник (человек, связанный с болотом: либо житель, либо тот, кто промышлял болотной рудой или дичью). Болотов — чисто русская фамилия, тоже от прозвища Болото. Болотенко же остаётся в украинском ареале. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из казацких или крестьянских семей Полтавщины или Черниговщины, где фамилии на -енко закрепились уже в XVII веке.