Фамилия Болтаоина — очень редкая, и её написание сразу настораживает: окончание -оина, а не привычное -ина. С высокой вероятностью перед нами не опечатка, а диалектный или исторический вариант фамилии Болтавина. В русских говорах, особенно северных и сибирских, звук «в» перед гласными мог выпадать или переходить в «у» неслоговое, что на письме давало такие формы. Поэтому первая и самая очевидная версия: Болтаоина — это Болтавина, где корень «болт» отсылает к слову «болтать» или «болтливый».

Если отталкиваться от основы «болт», то прозвище Болтай, Болтун давали человеку говорливому, пустослову или, наоборот, тому, кто «болтал ногами», то есть был непоседлив. В старину такие прозвища не считались обидными — они были бытовыми и точными. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Болтаоин сын, то есть сын Болтая. Фамилия строится по отчественной модели, типичной для центральной и северной России.

Менее вероятна, но возможна связь с глаголом «болтать» в значении «взбалтывать, мешать» — так могли прозвать мельника или того, кто работал с жидкими составами, например, красильщика. Но в этом случае форма фамилии, скорее, была бы Болтов или Болтаев.

С географией сложно: фамилия настолько редкая, что её нет в массовых списках и справочниках. Вероятно, она бытовала в одной или нескольких соседних деревнях, где закрепилась именно в таком фонетическом виде. Возможно, её носители жили в местности, где «в» перед гласными произносили как краткое «у» (так называемое губно-губное «в»), что на слух давало «Болтауина», а на письме упростилось до «Болтаоина».

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает версию о выпадении звука. Фамилии Болтавин, Болтаев, Болтунов встречаются чаще, и все они восходят к одному корню. Болтаоина — их редкий диалектный дубль, сохранивший черты местного произношения. Если вы ищете свои корни, стоит проверить документы XIX — начала XX века именно по варианту Болтавин, особенно в архангельских, вологодских или пермских записях.