Фамилия Болычевская — редкий случай, когда географическая привязка оказывается прочнее, чем прозвищная или профессиональная. Почти наверняка это вариант фамилии Болычевский, образованный по женской линии (жена или дочь Болычевского). Основа же — топоним: название населённого пункта вроде Болычево, Болычевка или Болычева. Такие деревни и сёла разбросаны по центральной России — в Тверской, Московской, Смоленской областях, а также в Беларуси. Человек, переехавший оттуда, получал прозвище «Болычевский» — то есть выходец из Болычева. Суффикс -ск- в русских фамилиях традиционно указывает на дворянское или шляхетское происхождение (владельческие фамилии по названию имения), но с XVIII–XIX веков эту модель активно перенимали и крестьяне, и мещане, особенно в западных губерниях. Поэтому Болычевские могли быть как потомками мелкопоместных дворян, так и бывшими крепостными, получившими фамилию при освобождении по названию родной деревни.

Корень «болыч-» вызывает вопросы. Самое прямое объяснение — от слова «болыч»: в некоторых говорах так называли болотистое место, топь. Тогда Болычево — «деревня у болота». Вторая версия — отчество от канонического имени Борис, где «Болыч» могло быть народной формой вроде Болыч вместо Борис (через аканье и упрощение). Но это менее вероятно: для фамилии Болычевский ожидалось бы больше параллельных форм типа Борисовский. Третий вариант — прозвище Болыч от «большой» (болыпой, болыч — великан или старший в роду), но тогда фамилия чаще писалась бы через «ш» — Болышевский.

Написание через «ы» после «л» — архаичная норма, закрепившаяся в документах XIX века. В современных базах фамилия встречается редко, чаще всего в варианте Болычевский. Если ваш предок — Болычевская, скорее всего, она была женой или дочерью человека, чьи корни уходят в одну из деревень с названием Болычево. Точнее определить помог бы краеведческий запрос: поищите по писцовым книгам или ревизским сказкам — где именно в вашей губернии значится такое селение.