Фамилия Борзовец — пример того, как один суффикс меняет всё. Если бы предка звали Борзов, его бы записали как «сын Борза» (от прозвища Борзой, то есть быстрый, резвый). Но суффикс -ец указывает на иную модель: Борзовец — это «выходец из Борзова» или «житель Борзова». То есть фамилия образована не от личного прозвища, а от названия места — скорее всего, деревни или хутора с основой Борз-.

Такие топонимические фамилии на -ец (ср. Ростовец, Тамбовец, Москвин — правда, там другой суффикс) встречаются реже отчественных на -ов. В русской ономастике их называют «катойконимическими» — они обозначают, откуда человек родом. Значит, предок носителя фамилии когда-то переселился из населённого пункта Борзово или Борзовка и получил прозвание по месту прежнего жительства. На картах России таких топонимов несколько: Борзово есть в Московской, Нижегородской, Вологодской областях, а также на Украине. Скорее всего, корни фамилии — в одном из этих сёл.

Сама основа Борз- восходит к древнерусскому прилагательному «борзый» — быстрый, скорый. В говорах «борзой» могло быть прозвищем резвого человека или охотничьей собаки (борзая). Но в фамилии Борзовец это значение уже опосредовано топонимом: сначала так назвали село (возможно, по первопоселенцу с прозвищем Борз), а уже потом — человека из этого села.

Фамилия редкая, в современных справочниках по русским фамилиям (например, у Б. Унбегауна) она не упоминается, что говорит о её локальном бытовании. Основная масса носителей, по данным открытых телефонных справочников, сосредоточена в Беларуси и на западе России — это косвенно подтверждает западнорусскую или белорусскую модель образования (суффикс -ец в топонимических фамилиях там встречается чаще, чем на севере). Встречается также украинский вариант Борзовець — с мягким знаком на конце.

Таким образом, фамилия Борзовец — «географическая»: она не описывает характер предка, а рассказывает, откуда он пришёл. Если ваша семья хранит предания о переселении из деревни Борзово, это почти наверняка верный след.