Фамилия Борзовець — редкий случай, когда географический суффикс спорит с прозвищем. Если вы встретили её в украинских или южнорусских областях, скорее всего, перед вами указание на родом из Борзова или Борзовки. На карте Украины есть несколько сел с похожими названиями — например, Борзов в Хмельницкой области или Борзня (тут корень другой, но путаница возможна). Суффикс -ець типичен для украинской ойконимической модели: так называли выходца из определённого места. «Борзовець» — тот, кто пришёл из Борзова.

Но корень «борз-» в славянских языках имеет и другое значение — «быстрый, резвый». Отсюда древнерусское слово «борзъ» (скорый) и известная фамилия Борзов. В этом случае Борзовець — это не житель, а носитель прозвища Борзой или Борзовец, то есть человек быстрый, проворный. Такие прозвища давали гонцам, скороходам или просто непоседливым людям. Украинский суффикс -ець здесь превращает прозвище в фамилию по той же модели, что и Молодець, Храбрець.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает выбрать версию. Борзов — массовая русская фамилия, образованная от прозвища без суффикса. Борзовець — явно украинская или западнорусская форма, и её редкость говорит в пользу географического происхождения: прозвищных фамилий на -ець меньше, чем топонимических. Если бы предка прозвали Борзовцем, фамилия скорее закрепилась бы как Борзов. А вот если он ушёл из села Борзово, суффикс -ець был естественным способом назвать пришлого.

В документах XIX века фамилия встречается в Черниговской и Полтавской губерниях — как раз в зоне украинских говоров и сёл с корнем «борз-» в названиях. Социально носители могли быть крестьянами или казаками: топонимические фамилии редко указывают на дворянство, если только не связаны с владением землёй. Но прямых свидетельств о знатном происхождении Борзовцев нет.

Итог: скорее всего, первый Борзовець — выходец из села Борзово или Борзовки. Запасная версия — прозвище быстрого человека, но она слабее из-за редкости модели. Если хотите проверить, посмотрите на карту: есть ли в вашем роду предания о переселении из конкретного села с похожим названием.