Фамилия Борзыкин образована от прозвища Борзыка. В старину «борзый» значило «быстрый, резвый, скорый». Прозвище Борзыка могли дать человеку с живым, стремительным нравом, который всё делал быстро и не терпел медлительности. Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: Борзыкин буквально означает «сын Борзыки».

В говорах слово «борзыка» могло относиться не только к человеку, но и к борзой собаке. В некоторых регионах так называли проворного, ловкого пса, а затем и человека с похожими качествами. Встречаются варианты написания фамилии через «а» — Барзыкин, что связано с акающим произношением в южных и центральных областях России.

Фамилия редкая, в основном встречается в центральных регионах России и в Поволжье. По данным переписей, Борзыкины были крестьянами и мещанами. В архивных записях XVII–XVIII веков упоминаются крестьяне Борзыкины из Рязанской и Тамбовской губерний. Есть версия, что прозвище могли дать и по внешнему сходству с борзым — «длинномордому» человеку, но это менее вероятно, так как основное значение всё же связано с быстротой и характером.