Фамилия Босамыкина — женская форма, а мужская, Босамыкин, встречается редко и звучит непривычно. Причина в необычной основе: она образована не от имени или профессии, а от прозвища, которое, скорее всего, звучало как Босамыка. Разберём это слово по частям.

Первая часть — «бос-», напрямую связанная с прилагательным «босой». В говорах «босый» означало не только «без обуви», но и «бедный», «голый». Вторая часть — «-мыка», от глагола «мыкать» (скитаться, бродить, испытывать нужду). В русских диалектах «мыкаться» — то же, что «биться как рыба об лёд», жить в постоянных переездах и лишениях. Соединившись, эти корни дают прозвище Босамыка — человек, который «босой мыкается», то есть бедный скиталец, бездомный или просто крайне необеспеченный крестьянин.

Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: «чей сын?» — Босамыкин, то есть сын Босамыки. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я (ср. Гриша — Гришин, Кузьма — Кузьмин). Обратите внимание, что фамилия пишется через «ы» — Босамыкин, а не Босомыкин. Это не опечатка: в основе закрепилось именно «ы», что характерно для северных и сибирских говоров, где редукция гласных была иной. Географически фамилия редкая, встречается в основном в старообрядческих районах Забайкалья и Сибири, куда в XVIII–XIX веках ссылали или переселяли крестьян.

Других версий происхождения, например, от тюркских корней или от имени собственного, нет — слово «босамыка» не фиксируется в тюркских языках, а попытки вывести его из «бос» (тюрк. «голова») натянуты и лишены смысла. Так что перед нами чисто русское, диалектное прозвище, которое в XIX веке закрепилось как фамилия. Предок носителя этой фамилии почти наверняка был крестьянином или бедным посадским человеком, получившим прозвище за скитальческую жизнь или крайнюю бедность.