Фамилия Боцько звучит как типичная украинская или западнорусская, и это первая зацепка. Её выдает суффикс -ко, который в фамилиях восточных славян чаще всего указывает на уменьшительную форму или принадлежность: в украинском языке он заменил великорусские -ов/-ев и -ин. Если бы фамилия была русской, она скорее выглядела бы как Боцков или Боцкин. Но перед нами Боцько — с мягким знаком, что характерно для юго-западных говоров, где смягчение согласных перед суффиксом — обычное дело.

Основа фамилии — «боць» или «боц». Здесь возможны два основных пути. Первый — прозвище от диалектного глагола «боцати» (стучать, бить, толкать) или существительного «боц» (удар, толчок). В таком случае Боцько — это человек, который «боцается», то есть задира, драчун или просто резкий в движениях. Второй вариант — профессиональное прозвище от слова «боцман» (сокращённое «боц»). На флоте боцманом называли старшего матроса, отвечающего за порядок и такелаж. Фамилия могла закрепиться за отставным матросом или человеком, служившим на судне, особенно в регионах, связанных с Днепром, Чёрным морем или казачьими походами.

Есть и третья, менее очевидная версия: основа может восходить к личному имени Боць, которое в старину давали как уменьшительную форму от Борис или Богдан (по аналогии: Борис → Боря → Боць). Такие «усечённые» имена с суффиксом -ць встречались в западноукраинских и белорусских землях. Тогда фамилия Боцько — это буквально «маленький Боць», то есть сын или потомок человека по имени Боць.

Географически фамилия Боцько наиболее плотно встречается на западе Украины — в Тернопольской, Львовской, Ивано-Франковской областях, а также в приграничных районах Польши и Беларуси. Это подтверждает её западнославянский или малороссийский корень. В центральной России или Сибири она редка, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если вы Боцько, ваши предки почти наверняка жили в исторической Галиции или на Волыни.

Сравните с однокоренными фамилиями: Боц, Боцман, Боцюра, Боцян. Все они держатся в одной смысловой и географической нише — либо морская тема, либо диалектная «ударная» лексика. Учитывая, что суффикс -ко в украинской традиции часто давали молодым людям или сыновьям, наиболее вероятно, что первый носитель фамилии был либо сыном боцмана, либо парнем, получившим прозвище за драчливость. Социальный статус — скорее всего, крестьяне или казаки, без дворянских привилегий.