Фамилия Бричкина — женская форма, а её мужской вариант — Бричкин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Бричка. Слово «бричка» в русских говорах означало лёгкую повозку, телегу. Человек мог получить такое прозвище за то, что делал брички, торговал ими или постоянно ездил на такой повозке. В некоторых диалектах «бричка» — ещё и плотная ткань, род холста, так что прозвище могло относиться к ткачу или торговцу сукном.

Модель образования типична для русских фамилий: основа Бричк- плюс суффикс принадлежности -ин. Суффикс указывает на того, кто относится к Бричке: сын Брички, дочь Брички. В крестьянской среде такие фамилии часто закреплялись за детьми по отцовскому прозвищу, не переходя в официальные документы до ревизских сказок XIX века.

Географически фамилия встречается в основном в центральных и южных регионах России, особенно в Воронежской, Тамбовской и Рязанской областях. В этих местах слово «бричка» было в ходу, а значит, прозвище могло быть нередким. Встречаются и однокоренные фамилии: Бричков, Бричкин, Бричко — все они восходят к той же основе, но с разными суффиксами (-ов, -ин, -ко), что говорит о разных региональных традициях оформления фамилий.

Есть и другая, менее вероятная версия: что фамилия образована от имени Брик — сокращённой формы от Бригитта или Бронислав. Но такое имя в русской среде встречалось редко, поэтому связь с повозкой остаётся основным объяснением.