Фамилия Брикунов образована от прозвища Брикун. В основе этого прозвища лежит глагол «брикать» или «брикаться» — так в южнорусских и украинских говорах называли лягание, брыкание, сопротивление. Соответственно, Брикуном могли прозвать норовистую лошадь, которая брыкается, а в переносном смысле — упрямого, своенравного или драчливого человека, который «брыкается», не подчиняясь чужой воле. Слово «брика» в диалектах означало также «коза» или «овца», что добавляет ещё один возможный оттенок прозвища.

Суффикс -ун в прозвище Брикун типичен для имён, характеризующих человека по действию: говорун, ворчун, бегун. Фамилия оформлена патронимическим суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: Брикунов — сын или потомок Брикуна. Такая модель — самая распространённая в русской фамильной системе, поэтому фамилия встраивается в неё без затруднений.

Географически фамилия Брикунов встречается чаще в южных областях России, в том числе в Ростовской, Волгоградской областях, а также на Украине, где диалектное слово «брикати» было особенно употребительно. Это не массовая фамилия, но и не редкая — она фиксируется в переписных книгах и метрических записях XIX века. В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Брикунов относится к группе «мирских» прозвищ, которые давали по характеру или поведению, и такие фамилии часто содержат живую народную характеристику предка.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Брикалов, Брикин, Брыкунов — показывает, что основа «брик-» в разных диалектах могла звучать с твёрдым или мягким «р» и даже с «ы» вместо «и». Вариант Брикунов, вероятно, сохранил южнорусскую огласовку. Никаких документальных подтверждений дворянского происхождения у этой фамилии нет: её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, и прозвище отражало не столько профессию, сколько личную черту.