Фамилия Брыкунов образована от прозвища Брыкун. В русских говорах брыкуном называли норовистую лошадь, которая брыкается, то есть бьёт задними ногами. Слово «брыкать» фиксируется в словарях с XVIII века, а прозвище Брыкун давали человеку — строптивому, упрямому или склонному к неожиданным выходкам. Необязательно с негативным оттенком: в крестьянской среде брыкуном могли назвать и бойкого, неуступчивого парня, с которым «каши не сваришь».

По модели фамилия относится к типичным русским патронимическим фамилиям на -ов. Суффикс -ун в основе — активный словообразовательный элемент, характерный для прозвищ, описывающих действие или свойство (ср. Болтун, Молчун, Говорун). Брыкун — тот, кто брыкается, то есть носитель характерного поведения. Такие прозвища в XVI–XVII веках часто закреплялись за одним человеком и потом переходили к детям как фамилия.

Встречается ли фамилия в исторических документах — данных немного, но её однокоренные варианты (Брыков, Брыкин, Брыкунов) зафиксированы в переписях крестьян и посадских людей центральных губерний России, особенно в Рязанской, Тамбовской и Владимирской. География подсказывает, что прозвище могло возникнуть в среде коневодов или просто в быту — брыкун как характеристика человека не привязана к конкретному ремеслу.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от диалектного «брыкун» — вид растения или насекомого, но она не подкреплена лексикографическими источниками. Основное значение — через лошадиную повадку — остаётся самым убедительным.

Сейчас фамилия редкая, носители живут в основном в европейской части России. Несмотря на звучность, она не стала распространённой — возможно, из-за того, что прозвище было слишком ярким и не всегда лестным, поэтому в официальных документах его старались заменять на более нейтральные формы.