Фамилия Брыкун происходит от прозвища, данного человеку с крутым, упрямым или своенравным характером. В русских говорах «брыкун» — это тот, кто «брыкается», то есть лягается, упирается, проявляет строптивость. Чаще всего так называли лошадь, которая не давалась в руки, но прозвище легко переходило и на человека — ершистого, неуступчивого, любящего спорить и идти наперекор.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: основа глагола «брыкать(ся)» плюс продуктивный суффикс действующего лица -ун. Такой же суффикс мы видим в фамилиях Ворчун, Говорун, Молчун. Фамилия Брыкун — так называемая «нестандартная», то есть не имеющая патронимического суффикса -ов/-ев или -ин. Она закрепилась в виде чистого прозвища, без дополнительного оформления. Это говорит о том, что прозвище было настолько ярким и устойчивым, что стало фамилией в своей исходной форме, минуя этап притяжательного прилагательного.

Географически фамилия Брыкун встречается в основном в южнорусских и украинских регионах. В украинском языке «брикун» означает то же самое — норовистый конь или человек с характером. Поэтому у фамилии могут быть как русские, так и украинские корни, и в прошлом её носители могли жить на территории современных Курской, Воронежской, Ростовской областей или на Украине. Встречается она и у казаков, где прозвища, отражающие характер, были особенно распространены.

В отличие от фамилий с суффиксами -ов/-ев, которые указывают на принадлежность к отцу (чей? — Брыкунов), фамилия Брыкун в чистом виде — это прямое прозвище, данное самому первому носителю. Она не говорит о роде занятий или социальном статусе предка, но зато очень точно передаёт его личную черту. Среди однокоренных фамилий — Брыков, Брыкалов, Брыкунов — Брыкун стоит особняком как самая краткая и выразительная форма.