Фамилия Бривкалина — редкий случай, где сразу бросается в глаза необычная основа. Если отбросить окончание -а (женский род), получим мужской вариант Бривкалин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бривкалин — это «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Бривкала. Само прозвище, скорее всего, образовано от глагола «бривкать» — диалектного слова, которое в некоторых русских говорах означало «брыкаться», «лягаться», «упрямиться». Так могли прозвать строптивого, неуступчивого человека, который «шёл наперекор».

Словообразовательная модель проста: корень брыв-/брив- (с чередованием гласных, как в «брыкать» — «брикать»), суффикс глагольного действия -кал- и окончание -а, типичное для прозвищ с экспрессивной окраской (ср. «зубрила», «кривляка»). В ономастике это характерный путь: сначала прозвище на -кала, потом фамилия на -ин. В словаре В. Даля глагол «брикать» фиксируется как южное и западное слово, что даёт географическую привязку: носители фамилии, вероятно, родом из южнорусских или западнорусских областей, где такие формы были в ходу.

Интересная деталь: фамилия встречается в единичных записях, преимущественно на территории бывшей Орловской губернии. Это согласуется с ареалом диалектного «брикать». В отличие от более частых фамилий на -ов/-ев, модель на -ин здесь сохранила архаичную форму прозвища, не перешедшую в притяжательное прилагательное с суффиксом -ов. Социально это, скорее всего, крестьянская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по характеру, а не по ремеслу или имени отца.

Версия о связи с личным именем Бривка (гипотетически от Борис или Бронислав) маловероятна: в русской антропонимике нет следов такого имени, а словообразовательный ряд «глагол + -кала» — продуктивный и объяснимый. Таким образом, Бривкалин — фамилия-характеристика, за которой стоит живой диалектный глагол и образ упрямого, своенравного предка.