Фамилия Бризгун — один из тех случаев, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, минуя типичные суффиксы принадлежности. В ней нет окончаний -ов, -ев или -ин, которые обычно отвечают на вопрос «чей?» (Бризгунов, сын Бризгуна). Здесь мы видим прямую фиксацию прозвища в именительном падеже, что характерно для украинской, белорусской и южнорусской традиции образования фамилий. Такая модель часто встречалась у казаков и крестьян: человека прозвали Брызгуном — так и записали.

Основа фамилии — глагол «брызгать» (в старом написании «бризгать»). В русских говорах «бризгун» (или «брызгун») — человек, который брызгается, разбрызгивает воду или другую жидкость. Прозвище могло закрепиться за двумя типами людей. Первый — шаловливый ребёнок или взрослый, который любил плескаться, обливать других. Второй — ремесленник, чья работа была связана с водой или жидкими составами: красильщик, кожевник, пивовар или даже рыбак, который часто мокнул и разбрызгивал воду.

Слово «бризгать» фиксируется в диалектах, но в литературном языке закрепился вариант «брызгать». Фамилия Бризгун встречается в южных и западных регионах бывшей Российской империи — на Украине, в Белоруссии, в Курской и Воронежской губерниях. Там же распространены однокоренные фамилии Брызгун, Брызгалов, Брызгунов. Форма на «и» — Бризгун — более редкая, но она сохранила древнее произношение корня.

С точки зрения словообразования, суффикс -ун в русских прозвищах и фамилиях обозначает действующее лицо с оттенком постоянного или характерного действия. Сравните: говорун, крикун, ворчун. Бризгун — это «тот, кто постоянно брызгает». Такие прозвища давали не за единичный поступок, а за устойчивую привычку или профессию.

Если ваши предки носили фамилию Бризгун, скорее всего, они происходили из крестьянской или казачьей среды южнорусских или украинских земель, а родоначальник либо был подвижным и непоседливым человеком, либо занимался ремеслом, где без воды не обойтись.