Фамилия Брязгун — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, без типичных суффиксов -ов, -ин или -ский. Она образована напрямую от прозвища Брязгун, которое в русских говорах имело яркую отрицательную окраску. В словаре Владимира Даля «брязгать» означает «брюзжать, ворчать, бранчиво браниться». Соответственно, Брязгун — это ворчун, сварливый человек, который постоянно выражает недовольство. Иногда слово фиксировалось и в значении «пустомеля, болтун».

По модели образования фамилия относится к «акающим» говорам: в литературном языке на месте «брязг-» ожидалось бы «брюзг-», но диалектное произношение закрепило форму с «я». Сравните: брюзжать — брязжать, брюзга — брязга. Таким образом, Брязгун и литературный Брюзгун — однокоренные варианты, разошедшиеся по диалектам. Встречаются и родственные фамилии: Брязгин, Брязгунов, Брязгалов — все они восходят к той же основе со значением «ворчун, скандалист».

Фамилия Брязгун почти не встречается в центральных областях России, но фиксируется в северных и северо-восточных регионах: в Архангельской, Вологодской, Кировской областях, а также в Пермском крае. Это косвенно указывает на то, что прозвище бытовало именно в северных говорах, где слово «брязгать» сохранилось дольше, чем в литературном языке.

Социально фамилия, скорее всего, крестьянского происхождения. Прозвище давали не в официальных документах, а в быту — за характер. Человек, получивший такое прозвище, вероятно, отличался неуживчивым нравом или любовью к пустым спорам. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые часто образовывались от имени отца, Брязгун сразу закрепилась как «прозвищная» фамилия, без патронимического суффикса. Это делает её более древней по форме: такие бессуффиксные фамилии встречаются реже и обычно старше по времени возникновения.