Фамилия Брюшко — яркий пример того, как на Руси давали прозвища по внешним приметам. В основе лежит слово «брюхо», то есть «большой живот». Прямое, без обиняков прозвище Брюшко мог получить человек с заметным, крупным животом. В крестьянской среде, где ценилась физическая сила и стать, такое прозвище не обязательно было обидным — скорее описательным, как Рыжий или Косой.

Модель образования у фамилии редкая и потому особенно интересная. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов/-ев (Брюшков) или -ин (Брюшкин), здесь использован древний способ — застывшая форма прозвища в именительном падеже. Фамилия Брюшко — это и есть то самое прозвище, которое «приросло» к роду без дополнительных суффиксов. Такая модель типична для украинской и белорусской ономастики, но встречается и на юге России, в казачьих областях. Поэтому если ваши предки носили фамилию Брюшко, с высокой вероятностью они происходят из этих регионов.

В словаре Б. Унбегауна подобные фамилии описываются как «украинизированные» или южнорусские. Параллельно существует фамилия Брюшков, образованная по стандартной великорусской модели — от того же прозвища, но с суффиксом принадлежности. Сравните: Брюшко и Брюшков — по сути, однокоренные «родственники», разошедшиеся в разных диалектных и административных традициях.

Социальный контекст тоже прозрачен. Прозвища по физическим особенностям давали в первую очередь простым людям — крестьянам, ремесленникам, казакам. Дворянские роды с такой фамилией практически не встречаются. Ваш предок, скорее всего, был человеком труда, которого в деревне или станице знали как обладателя внушительного живота — и это прозвище перешло детям и внукам уже как официальная фамилия.