Фамилия Будагосская — одна из тех, что сразу привлекают внимание своим нетипичным для русского уха окончанием и неочевидным корнем. Начинать её разбор стоит не с основы, а с суффикса: -ск- указывает на географическое или топонимическое происхождение. Такие фамилии в среде русского дворянства и духовенства часто образовывали от названий мест, где жили владельцы, или от пожалованных имений. Однако окончание -осская, а не привычное -ская или -цкая, подсказывает, что корень не русский, а скорее всего, тюркский или кавказский.

Основа «Будаг» восходит к тюркскому имени Будаг (варианты Будак, Будай). В тюркских языках «будаг» означает «ветка», «побег», а в переносном смысле — «потомок», «отпрыск». Имя было распространено у азербайджанцев, турок, крымских татар и народов Кавказа. Таким образом, исходное значение прозвища или имени — «ветвь рода», «продолжатель рода». Фамилия Будагосская, вероятно, возникла как указание на выходца из населённого пункта с похожим названием (Будаг, Будагоз, Будагос), который мог находиться в Крыму, Закавказье или на Северном Кавказе.

Модель образования типична для так называемых «кабинетных» фамилий, которые фиксировались при переписях или выдаче документов. Священник, писарь или чиновник, записывая переселенца или крещёного инородца, мог прибавить к его имени или месту выхода фамильный формант -ский/-ская, чтобы придать фамилии «благородное» звучание. Поэтому первые носители фамилии Будагосская могли быть выходцами из духовного сословия, получившими фамилию по названию села или по имени отца, или же обрусевшими потомками тюркских или кавказских родов.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным открытых источников, основная масса носителей сосредоточена на юге России и в Краснодарском крае, что косвенно подтверждает связь с Причерноморьем или Кубанью, где исторически смешивались славянские, тюркские и кавказские элементы. Интересно, что фамилия почти не встречается в центральных и северных областях — это верный признак того, что она сформировалась именно в зоне активных межэтнических контактов.

Из-за редкости фамилии у неё нет широко известных исторических носителей, и её сложно спутать с другими. Это не переделка на польский манер (окончание -ская здесь не польское, а общевосточнославянское) и не искусственная семинарская фамилия от латинского корня. Скорее всего, перед нами результат адаптации тюркского имени через топоним, закреплённый в документах XIX века.