Фамилия Будагина встречается редко, и её происхождение неочевидно. Чтобы разобраться, нужно отбросить окончание -а (женский род) и взять мужскую основу Будагин. В этой фамилии нас с первого взгляда цепляет суффикс -аг- (-яг-). Он не так распространён, как -ов или -ин, но в русских фамилиях и прозвищах он выполнял особую роль: придавал слову оттенок просторечия, иногда грубоватой или шутливой оценки. Вспомните: «бедняга», «скромняга», «работяга» — так называли человека по яркому качеству или занятию.

Корень здесь — «буд-». Самое очевидное, что приходит на ум, — глагол «будить» или существительное «буда» (в южных и западных говорах — строение, будка, временное жильё, например, «сторожевая буда»). Если основа от глагола, то прозвище Будага мог получить человек, который всех будит, беспокойный или, наоборот, тот, кого трудно разбудить (с иронией). Если от «буды» — то это прозвище сторожа, караульщика, живущего в будке, или человека, который строил такие временные постройки.

Есть и вторая, менее очевидная, но более глубокая версия. В древнерусском языке и в диалектах существовало слово «буда» в значении «суета, тревога, беспокойство». Отсюда «будага» — суетливый, беспокойный человек. Эта версия хорошо ложится на модель образования с суффиксам -аг-: Будага — тот, кто создаёт буду (суету). Это правдоподобнее, чем просто «будка», потому что суффикс -аг- чаще цеплялся к отвлечённым или качественным основам, а не к конкретным предметам.

Таким образом, фамилия Будагин — это отчество от прозвища Будага. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, был человеком заметным, возможно, хлопотливым или деятельным до суетливости, либо нёс службу, связанную с охраной и сторожевыми будками. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и западнорусским областям, где слово «буда» было в ходу, а также к Поволжью, где селились переселенцы из тех краёв. В окончании -ин нет ничего удивительного: оно указывает на принадлежность («чей?» — Будагин сын), и это самая частая модель для прозвищ на -а.