Фамилия Будагова — женская форма фамилии Будагов, а та образована от прозвища Будаг. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: в основе глагол «будовать», то есть строить, возводить. Прозвище Будаг могли дать человеку по роду занятий — строителю, каменщику, плотнику. Это одна из тех «профессиональных» фамилий, где ремесло предка застыло в суффиксе и окончании.

Но есть и вторая, более сложная версия, связанная с историей русского быта. Исходное слово могло звучать не как Будаг, а как «будак». Будаками на юге России и Украине называли бывших будных крестьян — тех, кого приписывали к казённым будным майданам. Будный майдан — это поташное или смолокуренное производство в лесу, своего рода лесной завод. Чередование конечного согласного г/к в прозвище Будаг/Будак — явление обычное для живой речи, где твёрдый звук мог смягчаться или заменяться под влиянием диалекта.

Обратите внимание на суффикс -ов: он указывает на принадлежность, то есть Будагов — сын или потомок Будага. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ, оканчивающихся на твёрдый согласный. Если бы прозвище звучало как Будак, последовательное образование дало бы фамилию Будаков, но в случае Будаг — форма Будагов абсолютно закономерна.

Слово «будный» и его производные — «будник», «будный крестьянин» — встречаются в документах XVII–XVIII веков, особенно в чернозёмных и лесных губерниях. Так что предки Будаговых вполне могли быть не просто строителями, а людьми, занятыми тяжёлым лесным промыслом: варкой смолы, выжиганием угля, производством поташа. Оба варианта — и строитель, и будный мастер — правдоподобны и не противоречат друг другу: фамилия могла возникнуть независимо в разных местах с разным значением.