Фамилия Будаквенко — редкий случай в русском ономастиконе, где прозвищная основа соединилась с украинским патронимическим суффиксом. Если вы её носитель, то ваши предки, скорее всего, происходили с территории современной Украины или южных областей России, а сама фамилия образована от прозвища Будаква.

Разберём основу. «Будаква» — слово не из литературного языка, а из диалектов. В южнорусских и украинских говорах «будак» или «будаква» — это растение, чертополох или татарник, колючий сорняк. Прозвище Будаква могли дать человеку колючему, неуживчивому, с трудным характером, либо же тому, кто жил в зарослях бурьяна. Есть и другая, менее вероятная версия: связь с польским «budak» — «строитель», но для украинской фамилии это звучит натянуто.

Суффикс «-енко» — классический украинский патроним, означающий «сын» или «потомок». То есть Будаквенко буквально — «сын Будаквы». Такая модель была особенно распространена в Левобережной Украине, на Полтавщине, Черниговщине, в Слобожанщине. Фамилия фиксирована в метрических книгах XIX века, но точных дат первого упоминания нет — в силу редкости она не попала в крупные словари.

Интересная деталь: написание через «е» (Будаквенко, а не Будаквэнко) указывает на то, что фамилия русифицировалась в документах — украинское «и» в суффиксе часто заменяли русским «е». В устной речи могло звучать и «Будаквинко», но письменная форма закрепилась.

Социально предки Будаквенко — почти наверняка крестьяне или казаки. Дворянских родов с такой фамилией не известно. В современной России фамилия встречается единично, чаще всего в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине. Если захотите узнать точную географию, стоит заглянуть в ревизские сказки по Полтавской губернии — там корень.