Фамилия Буденбаев — редкий пример, где тюркская основа встретилась с русским суффиксом. Разберём её по частям.

Корень «буден» восходит к тюркскому слову «будан» (или «будун») — так в некоторых тюркских языках называли оленя-самца, лося или вообще крупного зверя. В казахском и башкирском «буға» — бык, а «будан» — дикий бык или тур. Прозвище Буден (или Будан) могли дать человеку сильному, крупному, упрямому — по аналогии с могучим животным. Вторая возможная версия: «буден» — искажённое «буйдан» (пустой, порожний) в значении «бедняк», но это менее убедительно, так как прозвища по животным в степи были куда популярнее.

Суффикс «-баев» — типичный для фамилий казахского, башкирского, татарского происхождения. «Бай» в тюркских языках означает «господин», «богач», «хозяин». Сочетание «Буденбай» — сложное имя: «олений хозяин» или «богатый, как олень» (в смысле силы, а не денег). В XV–XIX веках такие двусоставные имена были распространены у кочевых народов: к основе-прозвищу прибавляли «бай» или «бий», и это становилось личным именем. Позже, при записи в метрики и переписи, к имени Буденбай добавили русский патронимический суффикс «-ев» — так получилась фамилия Буденбаев.

Географически фамилия тяготеет к Оренбуржью, Башкортостану и северо-западу Казахстана — регионам, где веками жили башкиры и казахи, а в XIX веке активно шла русификация имён. Встречается она и у татар, но реже.

Отдельная деталь: в русском языке написание закрепилось через «е» (Буденбаев), хотя исходное тюркское слово могло звучать с «а» — Буданбаев. Это следствие аканья или случайной ошибки писаря, которая со временем стала нормой для конкретной семьи.

Таким образом, предок носителя фамилии Буденбаев, скорее всего, был скотоводом или охотником в южноуральских степях, получил прозвище по силе или внешности, а его потомки при переходе к оседлости и получении паспортов закрепили фамилию в том виде, в каком мы знаем её сейчас.