Фамилия Бугайук — редкий пример украинской фамилии, образованной не от нарицательного слова, а от прозвища с очень конкретным значением. В её основе лежит украинское слово «бугай», которое в разных говорах означало «бык-производитель», а также «крупный, сильный мужчина» или «упрямец». Суффикс -ук (-юк после мягкого согласного) — типичный для западноукраинских и полесских фамилий показатель родства или принадлежности. Он отвечает на вопрос «чей?» и буквально значит «сын Бугая» или «потомок человека по прозвищу Бугай». Таким образом, Бугайук — это «Бугаёв сын», «маленький Бугай».

Исходное прозвище Бугай могло закрепиться за человеком не только из-за физической силы или грузности. В украинском фольклоре «бугай» — ещё и персонаж, связанный с плодородием и мощью. В некоторых регионах так называли неженатого мужчину, который «мычит» на вечёрках — то есть бурно веселится. Но вероятнее всего, прозвище носило бытовой, а не мифологический оттенок: либо человек работал с быками, либо обладал тяжёлым, «бычьим» нравом.

Географически фамилия Бугайук наиболее плотно встречается в западных областях Украины — на Волыни, в Ровненской и Тернопольской областях, а также среди украинской диаспоры. Модель на -ук/-юк вообще характерна для Волыни и Полесья, где она вытеснила более распространённые в центральной Украине -енко. Если бы фамилия формировалась в другом регионе, она звучала бы как Бугаенко (на востоке) или Бугайчук (с другим чередованием).

Ошибочно связывать фамилию с русским словом «бугай» в значении «птица выпь» — этот корень в украинской антропонимии не продуктивен. Птицу выпь в Украине называют «бугай» реже, чем «чепура» или «бухло», и прозвища от неё почти не фиксируются. Основная версия — «бык» — подтверждается и параллельными фамилиями Бык, Бычков, Бугаев, которые в русской среде имеют ту же логику, но другой суффикс.

В дореволюционных метриках фамилия могла записываться по-разному: Бугаюк, Бугайюк, а в польских документах — Buhajuk. Вариант с твёрдым «у» (Бугайук) закрепился в советское время при унификации написания. Сословной привязки у фамилии нет: её могли носить и крестьяне, и казаки, и мещане — прозвище Бугай не было унизительным, скорее указывало на заметную черту.