Фамилия Бугрым — одна из тех, чью основу ищут не в славянских корнях, а в тюркском или татарском наследии. В этом её главная особенность. Правдоподобнее всего выглядит версия, связывающая фамилию с личным именем Багрим (или Бугрим), которое восходит к тюркскому «байрам» — так называют мусульманский религиозный праздник. Имя Байрам давали мальчикам, родившимся в праздничный день, отсюда и пошла основа для прозвища, а затем и фамилии.

Есть и более поэтичная гипотеза: от татарского «багрим» — «сердце мое», «душечка». Если это так, то Бугримом могли назвать долгожданного, горячо любимого ребёнка. Обе версии указывают на восточное происхождение, и вторая, хотя и менее подтверждённая лингвистически, не противоречит логике прозвищ.

С фамилией Бугрым связан и известный исторический сюжет. Поэт Гавриил Державин возводил свой род к мурзе Багриму, который, согласно преданиям, выехал из Большой Орды к великому князю Василию Тёмному в 1425 году. Державин даже писал в стихах: «забудется во мне последний род Багрима, Мой вросший в землю дом никто не посетит». В русских документах XV–XVI веков действительно встречаются носители этой фамилии: в 1480 году упоминается дьяк Иван Денисович Багримов в Кашине, а в 1566 году — Юрий Борисович Багримов в Дмитрове. Эти записи подтверждают, что фамилия (в варианте Багримов) бытовала в среде служилых людей и приказных.

Сам суффикс -ым в фамилии Бугрым встречается реже, чем привычные -ов или -ин. Такая модель характерна для прозвищ, которые перешли в фамилию без дополнительного оформления: Бугрым, а не Бугримов. Это говорит о том, что фамилия могла закрепиться в крестьянской или казачьей среде, где усечённые формы были нормой.

Таким образом, предки человека с фамилией Бугрым могли быть потомками татарского мурзы на русской службе, либо же прозвище получил простой человек — за ласковое обращение или по случаю праздничного рождения.