Фамилия Бурагагра — редкий случай, когда написание почти полностью выдаёт способ образования. В ней отчётливо видна модель, характерная для украинской и белорусской ономастики: основа + суффикс -аг(а) + ещё один суффикс, образующий фамилию. Первая часть — «бур» — может восходить к украинскому или диалектному русскому слову «бурий» (серый, бурый, иногда — дикий, необузданный). Вторая часть — «гагра» — скорее всего, не самостоятельное слово, а часть прозвища, которое в народной речи звучало как «Бурага» или «Бурагара». Суффикс -аг(а) в украинских фамилиях (как в «Бурлака», «Кривонога») придавал оттенок действия или свойства: «бурага» могло означать «тот, кто бурит», «ворчит», «сердится» или «ходит бурым, насупленным».

Конечное -гра — это, вероятно, результат адаптации на письме. В украинских говорах слово «гагра» иногда означало «гагара» (птица) или, в переносном смысле, «неуклюжий, нескладный человек». Если соединить: «Бурагагра» — прозвище человека с бурым, насупленным видом и неуклюжей походкой. Но есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от корня «бур-» (от «буря» или «бурить») и топонима Гагра (известный курорт). Тогда Бурагагра — это «тот, кто родом из Бур-Гагр» (некоего хутора или урочища с похожим названием). Однако эта версия слабее: ни одного населённого пункта «Бурагагра» в доступных источниках не зафиксировано.

Словообразовательная модель фамилии необычна. В русских фамилиях редко встречается тройной суффикс (-аг- + -р- + -а). Это указывает на то, что фамилия, скорее всего, не «книжная» (не от имени святого или профессии), а сугубо прозвищная, народная. Она могла закрепиться в какой-то одной местности — возможно, на западе Украины или в белорусском Полесье, где такие «нанизанные» суффиксы встречаются чаще. В списках известных носителей фамилия Бурагагра не значится: это очень редкая фамилия, вероятно, единичная или с числом носителей не более нескольких десятков человек по всему миру.

Итог: фамилия Бурагагра — прозвище, данное человеку за внешность или характер (бурый, угрюмый, неуклюжий), оформленное по украинской модели с двойным суффиксом. Её уникальность в том, что она сохранила почти без изменений звучание живого диалектного слова, которое сегодня уже не употребляется.