Фамилия Бурейников образована по стандартной для русских фамилий модели: к основе «Бурейник» добавили патронимический суффикс -ов, означающий «сын» или «потомок». Таким образом, ключ к разгадке — прозвище Бурейник, которое носил предок.

Самый правдоподобный источник этого прозвища — глагол «бурить» (в диалектах — «бурять», «бурнуть»), который означал «бросать», «кидать», «швырять», «раскидывать врозь». В таком случае Бурейником могли назвать человека порывистого, вспыльчивого, которого трудно было унять. Это объяснение лежит на поверхности: прозвища по характеру давали часто и охотно.

Есть и вторая версия, построенная на созвучии. Прозвище могли связать с прилагательным «бурый» — цвет кофейный, коричневый, искрасна-черноватый. Тогда Бурейник — человек с каштановыми волосами или смуглой кожей. Этот вариант менее надёжен: суффикс -ейник нехарактерен для образования прозвищ от цвета (обычно использовали суффиксы -ак, -як, -аш или просто прилагательное). Но совсем отбрасывать его не стоит: в народной этимологии подобные переосмысления возможны, и со временем первоначальный смысл мог стереться.

Фамилия Бурейников — редкий случай, когда основа не даёт однозначного толкования, зато оставляет место для двух разных портретов предка: либо человека буйного нрава, либо смуглого и темноволосого.