Фамилия Бурканина — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище, связанное с цветом. Разберём её по косточкам.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бурканина — «дочь (или жена) Бурканина». А вот мужская форма — Бурканин — образована от прозвища или неканонического имени Бурканя. В русских говорах слово «бурка» имело несколько значений: серая лошадь (от «бурый» — цвет), а также бурка — короткая накидка из войлока. Однако прозвища на -аня (Бурканя, Буркана) чаще давали по внешнему признаку: «бурканый» — сероватый, пепельный, нечистый цвет. Так могли назвать человека смуглого, с сединой или с неопрятной внешностью.

В ономастике есть и другая, менее вероятная версия: связь с диалектным глаголом «буркать» — бормотать, говорить невнятно. Тогда Бурканя — ворчун. Но цветовая основа встречается в фамилиях этого типа чаще (сравните: Белянин, Чернавин, Рыжанин).

Сословной привязки у фамилии нет: Бурканины могли быть и крестьянами, и мещанами. Встречается она в основном в центральных и северных областях России, где были сильны диалекты с «окающим» произношением. Географически фамилия редкая, массового распространения не получила.

В дореволюционных метрических книгах форма Бурканина могла записываться как матроним (по матери), если женщина была главой семьи или имела сильный характер. Но чаще это просто указание на замужнюю женщину из рода Бурканиных.

Итог: ваш предок по мужской линии получил прозвище Бурканя — скорее всего, за сероватый или смуглый цвет лица или волос. Фамилия не знатная, но с живым, образным корнем, который сразу рисует внешность человека.