Фамилия Бурхай — редкий случай, когда украинская глагольная основа сразу подсказывает, каким был человек, получивший прозвище. В её основе лежит украинский глагол «бурхати» — «действовать с большой разрушительной силой; бушевать». Так могли прозвать либо человека огромной физической силы, либо вспыльчивого, горячего, с кем лучше не спорить.

Интересно, что фамилия образовалась без типичного фамильного суффикса (-ов, -ин, -ский). Модель Бурхай — это чистое прозвище, которое закрепилось в качестве фамилии. Такая «нулевая» суффиксация характерна для украинской ономастики, особенно в западных регионах, где прозвища часто переходили в фамилии без изменений.

Есть и другая, менее вероятная, версия происхождения. Бурхай могло быть мирским именем, которое давали ребёнку, родившемуся в непогоду, в бурю. В этом случае имя-оберег должно было защитить или «запутать» нечистую силу. Ещё одна гипотеза связывает фамилию с калмыцким личным именем Бурхай, которое, предположительно, восходит к монгольскому «бурх» — «придорожная юрта». Но эта версия выглядит спорной: географическое распространение фамилии (Украина, юг России) говорит в пользу славянского корня.

Таким образом, в девяти случаях из десяти предок носителя фамилии Бурхай был человеком, которого окружающие запомнили как сильного, шумного или несдержанного — в прямом или переносном смысле «бушевавшего».