Фамилия Бысров — редкая и неочевидная для русского уха. На первый взгляд она напоминает фамилии на -ов, образованные от прилагательных, но с искажённой основой. В ней нет ни «Быстр-», ни «Быс-» в привычном значении.

Вероятнее всего, перед нами опечатка или диалектное искажение фамилии Быстров. В русских говорах, особенно в северных и сибирских, звук «т» в сочетании «стр» мог выпадать или упрощаться. Прозвище Быстрый давали человеку проворному, скорому на ногу или на дело. От него по стандартной модели образована фамилия Быстров — через суффикс -ов. Бысров, скорее всего, — её фонетический вариант, закрепившийся в документах из-за местного произношения или ошибки писаря.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «бысрый», которое в некоторых говорах значило то же, что «быстрый», но с редуцированным «т». Если это так, то основа фамилии — не результат описки, а живая народная форма прилагательного. В таком случае Бысров — прямое указание на характер предка.

Географически фамилия встречается точечно, в основном в Вологодской, Архангельской областях и на Урале — как раз в зоне бытования северных говоров, где «т» в стечении согласных могло не произноситься. Сословного значения у неё нет: это крестьянская или мещанская фамилия, образованная от прозвища.

Таким образом, Бысров — это, по всей видимости, вариант фамилии Быстров, возникший из-за особенностей произношения. Искать её корни стоит не в редком слове, а в живом языке, где скорость и сноровка ценились и давали человеку прозвище.