Фамилия Быцаев образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени с помощью суффикса -ев. Суффикс указывает на принадлежность: Быцаев буквально означает «сын Быцая» или «человек из рода Быцая». Сама основа — Быцай — в современном русском языке не встречается как самостоятельное слово, но её корень прозрачен: он восходит к слову «бык».

Прозвище Быцай могли дать человеку по внешнему сходству с быком — крепкому, упрямому, сильному. В южнорусских и украинских говорах слово «быцай» фиксируется как обозначение бычка или молодого вола, что усиливает версию о прозвище, данном либо за физические качества, либо за характер. Не исключён и переносный смысл: в некоторых диалектах «быцать» значит бодать или пихать, так что прозвище могло отражать манеру поведения — напористую или резкую.

По географии фамилия редкая. Основные очаги её бытования — Северный Кавказ, особенно Чечня и Ингушетия, а также соседние регионы Ставрополья. Это указывает на возможное происхождение в среде казачества или среди горских народов, где фамилии на -ев часто давались по русскому образцу. Встречается и в Осетии, что подтверждает локальный, а не общерусский характер фамилии.

В отличие от более частых Быковых или Бычковых, Быцаев сохранил архаичную форму прозвища с окончанием -ай. Такие прозвища были характерны для народной речи XVI–XVII веков, когда в ходу были уменьшительно-ласкательные или пренебрежительные формы: Быцай, Козай, Петухай. Со временем они застыли в фамилиях, и сегодня мы можем судить о том, как в старину называли людей по их самым заметным чертам.