Фамилия Бывальский образована по типичной для славянского мира модели с суффиксом -ск(ий). Такие именования широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян. В основе фамилии лежит прозвище Бывалой или Бывалец. Славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени (христианского или языческого), и здесь мы имеем дело именно с прозвищным корнем.

Слово «бывалой» в древнерусском языке означало человека опытного, много повидавшего, искушённого в житейских делах. В диалектах «бывалец» — это бывалый странник, человек, который много где побывал. Соответственно, Бывальский — это потомок того, кого в народе прозвали Бывалым или Бывальцем. Интересно, что прозвище могло иметь и ироничный оттенок: так могли назвать человека, который любил прихвастнуть своими приключениями, «бывальщиной».

Фамилия Бывальский вписывается в ряд однокоренных фамилий: Бывалов, Бывальцев, Бывакин. Все они восходят к одному смысловому гнезду, но различаются суффиксальными моделями. Форма на -ский характерна для дворянских и шляхетских фамилий, однако не стоит думать, что все Бывальские — потомки знати. В России и на Украине фамилии на -ский часто получали крестьяне и мещане, переселившиеся из одного места в другое: их записывали по новому месту жительства, добавляя типичный «географический» суффикс.

Географически фамилия Бывальский встречается в основном в западных регионах бывшей Российской империи — на Украине, в Белоруссии, а также в Польше. Это вполне закономерно, ведь суффикс -ский особенно распространён именно в этих землях. Встречаются и топонимические параллели: в Польше есть населённые пункты Бывале, Бывальце, от которых местные жители также могли получить фамилию Бывальский.

Таким образом, фамилия Бывальский прозрачна по смыслу: она указывает на предка, который либо был бывалым, опытным человеком, либо происходил из места с похожим названием. В любом случае, носитель этой фамилии может с уверенностью говорить, что его предок не сидел на месте, а многое видел и знал.