Фамилия Бызгаева — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа — «бызг» — не встречается в современном русском языке, поэтому разбирать её нужно с оглядкой на диалекты, тюркские заимствования и особенности русской ономастики.

Начнём с модели. Фамилия образована по стандартной русской схеме: суффикс -ев присоединён к основе Бызгай (или Бызга). Суффикс -ев указывает на принадлежность: Бызгаев — сын человека по прозвищу Бызгай. Форма Бызгаева — женский или притяжательный вариант, но в обиходе закрепилась как фамилия без изменения рода. Окончание -а здесь — показатель женского рода в русском склонении, а не часть корня.

Корень «бызг» — самый спорный элемент. В русских говорах слова с таким корнем почти не фиксируются. Ближайшая параллель — диалектное «бызгать» в значении «брызгать, разбрызгивать жидкость». Такое слово встречается в южнорусских и среднерусских говорах. Если прозвище Бызгай дали человеку, который, например, работал с водой, разливал напитки или отличался неаккуратностью («брызгач»), то фамилия укладывается в ряд прозвищ по поведению. Но это лишь одна версия.

Вероятнее, что основа тюркская. В татарском, башкирском и казахском языках есть корень «быз» — «телка, молодая корова». От него образовано слово «бызау» (телёнок) и производные. Прозвище Бызгай могло означать «телёнок» или «тот, кто пасёт телят». Суффикс -гай в тюркских языках часто образует имена и прозвища (сравните: Торгай, Карагай). Такая версия объясняет и редкость фамилии — она могла возникнуть в регионах с сильным тюркским влиянием: Поволжье, Урал, юг Сибири. Носители фамилии Бызгаевы действительно встречаются в Оренбургской области и Башкортостане, что подтверждает эту гипотезу.

Третья, менее вероятная версия — от прозвища Бызга, связанного с глаголом «бызовать» (кричать, мычать, как бык). В некоторых говорах «бызгать» означало «мычать». Тогда прозвище могло относиться к человеку с громким голосом.

Сословно фамилия, скорее всего, крестьянская или казачья. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В документах XVIII–XIX веков Бызгаевы встречаются среди яицких (уральских) казаков и государственных крестьян юго-восточных губерний.

Итог: фамилия Бызгаева — пример сложного тюркско-русского скрещения. Скорее всего, её носили потомки человека по прозвищу Бызгай, которое означало или «телёнок» (тюрк.), или «брызгун» (русск. диал.). Регион бытования указывает на тюркский корень как на основной.