Фамилия Безгаева — редкая и неочевидная с первого взгляда. Её основа «Безгай» или «Безгая» звучит как что-то лишённое гая, но что такое «гай» в русском языке? Тут и кроется главная загадка.

Слово «гай» в южнорусских и украинских говорах означает лиственный лес, рощу. Соответственно, «безгай» — человек, живущий на открытой местности, где нет леса, или прозвище того, кто лишился своего участка леса. Вторая, менее очевидная версия, отсылает к тюркскому корню «гай» — сила, мощь (ср. татарское «гайрәт»). Тогда Безгай — это «бессильный» или «слабый», но такое прозвище давали скорее в насмешку или как охранительное имя, чтобы обмануть злых духов: назвали слабым, а вырос сильным.

Суффикс -ев указывает на патронимическую модель: Безгаев — сын Безгая. Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного, что типично для русских фамилий XVI–XVII веков. Географически основа «Безгай» встречается в курских, орловских и воронежских говорах, а также у донских казаков. В переписных книгах XVII века могли записать: «Ивашка Безгай, крестьянин», а его дети уже писались Безгаевыми.

Интересно, что фамилия почти не дала вариантов с другими суффиксами — нет массовых Безгагиных или Безгайских. Это говорит о локальном бытовании: скорее всего, родоначальник жил в одном селе или слободе, и фамилия не разошлась широко. Сейчас носители Безгаевых встречаются в Ростовской области и Краснодарском крае, что совпадает с зоной расселения выходцев из южнорусских губерний.

Попытки связать фамилию с «без гаев» (то есть без рощ) — народная этимология, но она не лишена смысла: для крестьянина отсутствие леса значило дефицит строительного материала и дров, так что прозвище могло быть бытовым, а не метафорическим.