Фамилия Безгачёв — редкий пример того, как прозвище, построенное на отрицании, стало родовым именем. Её основа — прозвище Безгач или Безгачий, которое напрямую связано со словом «гач». В старину гач — это ремень, шнурок или тесьма, которой подвязывали шаровары; любая круговая опояска или обвязка. Соответственно, Безгач — человек, который не носил пояса или подвязки для штанов.

Такая деталь в быту бросалась в глаза. В крестьянской среде пояс был не просто деталью одежды, а оберегом и знаком порядка. Ходить без гача — значит пренебрегать обычаем или быть настолько бедным, что нечем подпоясаться. Прозвище могло закрепиться за неряшливым, небрежным человеком или, наоборот, за тем, кто позволял себе вольность в одежде.

Менее вероятна, но возможна вторая версия — связь с украинским словом «гачок» (крючок). В этом случае прозвище Безгач могло относиться к «профессиональным» именованиям. Например, так могли назвать бедного или неудачливого рыбака — человека без крючка, то есть без главного орудия лова. Однако эта гипотеза слабее: основа «гач» в значении «пояс» встречается в русских говорах шире и даёт более прямое объяснение прозвища.

Фамилия образована по стандартной восточнославянской модели: прозвище на -а/-я плюс фамильный суффикс -ёв (фонетический вариант -ев под ударением). Безгач → Безгачёв. Суффикс указывает на принадлежность: «сын Безгача». Такая модель типична для русских фамилий, возникших в XV–XVII веках в среде служилых людей и крестьян.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским регионам, где слово «гач» было в активном обиходе. Встречается она редко, что объясняется необычностью самого прозвища — не каждая семья хотела сохранять в родовом имени намёк на отсутствие пояса или неудачливость.