Фамилия Безгачева — женская форма, её мужской вариант — Безгачев. В основе лежит прозвище или мирское имя Безгач. Слово «безгач» в старых русских говорах означало человека, у которого «нет гачи» — то есть нет штанов, одежды ниже пояса. Гача, гачи — это штанина, порты, вообще нижняя часть одежды. Прозвище могло быть шутливым: так называли бедняка, который ходил в рваном или вовсе без штанов, или же просто несерьёзного, непутевого парня.

Модель образования простая и типичная для северных и центральных областей России. Суффикс -ев присоединился к основе на мягкий согласный (Безгач → Безгачев). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Безгáчев. Фамилия редкая, в списках частотных русских фамилий она не встречается, что говорит о её локальном происхождении — возможно, из одной-двух деревень или даже одного рода.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает понять контекст. Есть фамилия Гачев (от «гача»), и есть Безгачев — антонимичная пара. В ономастике такие пары встречаются: Безруков рядом с Рукавишниковым, Безногих рядом с Ногиным. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» разбирается модель «без- + существительное» — она давала прозвища по отсутствию какой-то детали внешности или имущества. Безгачев — один из ярких примеров этой модели, хотя сам Унбегаун его не приводит, логика та же.

По сословной принадлежности сказать определённо трудно, но прозвище «безгач» явно не дворянское, а крестьянское или посадское. В документах XVI–XVII веков такие прозвища фиксировались в писцовых книгах как неканонические имена. Если фамилия сохранилась до наших дней, её носители, скорее всего, потомки крестьян или ремесленников из северных губерний — Архангельской, Вологодской, возможно, Пермской.

Особенность написания: окончание -ев, а не -ов, указывает на то, что основа заканчивалась на «ч» или «ш». Если бы прозвище звучало как «Безгак», мы получили бы Безгаков. Но в говорах «гача» дала «гач», поэтому и фамилия — Безгачев.