Фамилия Чадай звучит редко и не сразу поддаётся расшифровке. Чтобы понять её происхождение, нужно отталкиваться не от очевидного корня «чад» (дети), а от тюркских языков и от древнерусских прозвищ. В большинстве случаев Чадай — это русифицированная форма тюркского имени или прозвища.

Основа фамилии — слово «чада» или «чадай» в тюркских наречиях (татарском, башкирском, казахском). Оно означает «ребёнок», «дитя», «малыш». В этом случае фамилия образована от личного имени-пожелания: родители назвали сына Чадаем, желая ему долгой и здоровой жизни, или же это было ласковое домашнее прозвище младшего в семье. Суффикс -ай в тюркских именах (как и в русских уменьшительных формах) придаёт ласкательный оттенок. Фамилия закрепилась в форме Чадай без типичного русского суффикса -ов/-ев, что говорит о её относительно позднем оформлении или о том, что носитель был записан по прозвищу как есть.

Есть и другая, менее распространённая версия, связанная с древнерусским словом «чадать» — тосковать, горевать, болеть. В диалектах «чада» могло означать «чахлый, хилый человек». Прозвище Чадай могли дать болезненному ребёнку или взрослому, который часто хворал. Но эта версия слабее: в русской ономастике прозвища от «чахнуть» чаще давали в форме Чахлый или Чахов, а не Чадай.

Географически фамилия Чадай встречается в Поволжье, в Башкортостане, Татарстане и среди сибирских татар. Встречается она и у русских, но почти всегда — в регионах с давним тюркским влиянием. Это указывает на то, что основная масса носителей — потомки крещёных татар или башкир, либо русских, перенявших тюркское прозвище в смешанной среде.

Сравните с однокоренными фамилиями: Чадин (от «чадо» — дитя), Чадаев (от имени Чадай с русским суффиксом -ев). Чадай и Чадаев — по сути, варианты одной основы, но Чадай сохранил исходную тюркскую форму без добавления фамильного окончания. Такое бывает, когда фамилию фиксировали со слов самого человека, не переделывая на русский лад.

В итоге: Чадай — фамилия, скорее всего, тюркского происхождения, означающая «дитятко», «малыш». Предки носителя могли быть татарами, башкирами или русскими, жившими по соседству с ними, и получили прозвище по младшему возрасту или по ласковому обращению в семье.