Фамилия Чадовский — относительно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от фамилий на -ов, которые часто образованы от имени или прозвища отца, суффикс -ский указывает на иной механизм: обычно так называли либо владельца поместья, либо выходца из определённой местности. Основа «Чад-» здесь ключевая, и у неё есть два правдоподобных объяснения.

Первое и самое вероятное — географическое. Фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта вроде Чадово, Чадов или Чадовка. Такие топонимы встречаются в России (например, деревня Чадово в бывшей Вологодской губернии). В этом случае Чадовский — это «тот, кто родом из Чадова». Такая модель была типична для дворянских фамилий, но на практике её часто перенимали и крестьяне, особенно когда целые семьи переселялись в другие края и получали прозвище по покинутой деревне.

Второй вариант — от прозвища Чад. В древнерусском языке слово «чад» означало «дым, угар, испарение», а также «чадо» (ребёнок). Прозвище Чад могли дать человеку с неспокойным, «угарным» характером, либо, что реже, тому, кто постоянно суетился или работал у печи (например, кузнецу). Фамилии на -ский от прозвищ встречаются реже, чем от топонимов, но исключать этот путь нельзя: прозвище могло закрепиться за родом, а потом оформиться в фамилию через суффикс принадлежности.

Стоит отметить, что фамилия Чадовский не входит в число распространённых дворянских родов, внесённых в родословные книги. Это скорее фамилия-однодворец или бывшая крестьянская, но с «географическим» оттенком. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в северных или центральных губерниях России — там чаще всего встречаются топонимы с основой «Чад-». Спорных версий вроде связи с «чадом» в значении «ребёнок» (от церковнославянского «чадо») мало — слишком редкое слово для прозвища, но полностью отбрасывать её нельзя, учитывая, что фамилия нестандартна.