Фамилию Чемко стоит разбирать не с корня, а с суффикса. Украинское -ко, уменьшительно-ласкательное или указывающее на принадлежность, здесь на месте. В русской традиции такие фамилии часто записывали в форме Чемков, но на юге и западе, в зоне украинского влияния, они остались без суффикса -ов. Чемко — это прямая, необрусевшая форма.

Основа фамилии — «Чемка». В украинских говорах «чемка» — это деревянная ложка, черпак. Прозвище Чемка могли дать человеку, который делал ложки (ложкарь, токарь по дереву), либо, в переносном смысле, тому, кто любил поесть, хлебал за троих. Вторая версия: Чемка — производное от уменьшительной формы имени Евфимий (в народе — Хома, Фома, Чемка). Имя Фома в украинской традиции давало варианты Чомка, Чемка. Тогда фамилия означает «потомок Чемки», то есть сын Фомы.

С географией всё скромно. Фамилия редкая, встречается точечно: в Черкасской и Полтавской областях Украины, а также среди переселенцев в Краснодарском крае и Ростовской области. В дореволюционных списках почти не фиксируется, что говорит о позднем оформлении фамилии — скорее всего, в XIX веке, когда крестьянам массово присваивали фамилии по отцовскому прозвищу.

Интересная деталь: в польском языке есть слово «czemko» (цемик, маленький черенок), что даёт ещё одну гипотезу — прозвище могло прийти с западных территорий, где «чемко» означало «рукоятка», «держак». Но для украинского ареала версия с ложкой или именем Фома выглядит надёжнее.