Фамилия Далибожко — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив глагольную конструкцию. В её основе лежит повелительное наклонение глагола «дать» и существительное «Бог»: «Дали Божко». «Божко» — это старинная уменьшительная форма от имени Богдан (буквально «данный Богом»). Таким образом, исходное прозвище звучало как «Дали Божко» — то есть «Дали Богдана». Так могли назвать человека, который по какой-то причине отдал своего сына на воспитание или в услужение (например, в монастырь, в работники), либо отца, который «отдал» сына в чужую семью. Вторая, менее распространённая версия: прозвище могло относиться к самому человеку, которого «дали Богу» — например, вымоленного, долгожданного ребёнка, посвящённого Богу.

Фамилия образована по украинской модели: суффикс -ко (вместо русского -ов/-ев) указывает на уменьшительность или принадлежность. В украинской ономастике такие фамилии на -ко (Далибожко, Панько, Федько) типичны для центральных и западных областей Украины. Встречается она и в южнорусских регионах, граничащих с Украиной, — на Кубани, в Ростовской области, в Белгородчине, куда фамилия попала вместе с переселенцами.

С точки зрения словообразования, Далибожко — яркий пример «глагольной» фамилии, где первая часть — команда или действие. Аналоги: Убийвовк, Непийвода, Подопригора. Но в отличие от них, здесь нет бытового или комического оттенка — скорее, религиозный или обрядовый подтекст. В словарях украинских фамилий (например, в работах Ю. Редько) подобные конструкции относят к прозвищам, данным по случаю или по характерному поступку.

Социально фамилия Далибожко — крестьянская, казацкая. В реестрах запорожских казаков XVII–XVIII веков встречаются прозвища с корнем «Божко», но именно форма Далибожко фиксируется позже, в метрических книгах XIX века. Знатных родов с такой фамилией не известно — это «народная» фамилия, которая рассказывает не о титуле, а о живой ситуации: кто-то когда-то отдал сына, и это запомнили.