Фамилия Дамиров происходит от мужского имени Дамир, и здесь есть два возможных пути, по которым оно могло возникнуть. Первый, более древний, ведет в тюркскую языковую среду. По мнению лингвиста М. Закиева, имя Дамир — это вариант имени Тимер (в некоторых говорах — Димер), характерного для южнотюркских (огузских) языков. Древнетюркское слово «тимер» означает «железо; железный». Такое имя давали мальчику с пожеланием, чтобы он рос крепким, как металл. В семьях, где дети умирали в младенчестве, имя Тимер считалось оберегом, призванным «закалить» ребенка и удержать его в этом мире.

Второй путь — советский. В первые десятилетия после революции 1917 года в обиход вошло имя Дамир, искусственно образованное от лозунгов «Да здравствует мир» или «Даешь мировую революцию». Эта версия объясняет появление фамилии у людей, чьи предки родились уже в советское время. Однако для фамилии, сложившейся как родовое имя, более вероятна первая, тюркская основа: фамилии обычно закреплялись за несколько поколений до появления советских неологизмов.

Суффикс -ов указывает на русскую модель образования фамилий: Дамиров буквально означает «сын Дамира» или «принадлежащий Дамиру». Такая форма типична для народов, долгое время живших в контакте с русской культурой и административной системой, — например, для татар, башкир, азербайджанцев или народов Кавказа. Географически фамилия Дамиров встречается в Татарстане, Башкортостане, в Азербайджане и среди тюркоязычных общин Средней Азии. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, в его роду было принято тюркское имя Дамир (в значении «железный»), а сама фамилия оформилась в XIX–XX веках, когда крестьянам и горожанам массово давали фамилии по имени отца.