Фамилия Дашдемирова — редкий случай в русском ономастиконе, где тюркская основа и русский суффикс работают в паре. Перед нами женская форма, мужской вариант — Дашдемиров. Разбираем её не с корня, а с окончания: суффикс -ов указывает на принадлежность (чей? — Дашдемиров), то есть фамилию образовали от личного имени или прозвища Дашдемир.

Основа «Дашдемир» — тюркская составная конструкция. «Даш» в тюркских языках (азербайджанском, турецком, татарском) означает «камень». «Демир» — «железо». Вместе получается «каменное железо» или «железный камень». Вряд ли это буквальное описание материала — скорее, прозвище, данное человеку за твёрдость, несгибаемость, крепость характера. В тюркской антропонимии такие «железные» имена (Темир, Демир) были распространены как обереги: считалось, что имя-металл дарит ребёнку здоровье и стойкость. «Дашдемир» могло быть и самостоятельным именем, и прозвищем воина или кузнеца.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где тюркские языки соседствуют с русским: это Северный Кавказ (особенно Дагестан, где у лезгин и азербайджанцев встречаются подобные имена), а также Закавказье и юг России. Встречаемость в русских документах — скорее всего, результат русификации: при переписях или записи в метрические книги тюркское имя получало русский патронимический суффикс.

Что касается сословия: носители фамилии Дашдемировы в XIX веке могли быть как крестьянами, так и горожанами, но исключать дворянство не стоит — в среде горских народов были и княжеские, и узденские (свободные общинники) роды, чьи имена позже оформлялись по русскому образцу. Однако точных данных о конкретном роде без генеалогического поиска не дать.

Интересная деталь: в отличие от более частых тюркских фамилий на -ов (Темиров, Ташов), где основа простая, здесь двойной корень — «Даш-Демир». Это делает фамилию более редкой и семантически насыщенной: она не просто «сын Темира», а «сын Камня-Железа», что звучит как прозвище былинного богатыря. Если ваши предки носили эту фамилию с Кавказа, велика вероятность, что её дали за физическую силу или упрямый нрав.