Фамилия Демчинкий — редкий случай, когда написание расходится с произношением и путает исследователя. Скорее всего, вы ищете сведения о фамилии Демчинский, а буква «к» — либо опечатка, либо диалектное упрощение на письме. В любом случае, разбирать стоит именно вариант с суффиксом -ский, потому что бессуффиксная форма Демчинкий в русской ономастике не встречается (она противоречит словообразовательной модели).

Фамилия Демчинский образована от личного имени Демка — народной формы крестильного имени Димитрий (Дмитрий). Суффикс -ин- в основе (Демчин-) указывает на принадлежность: «чей?» — Демчин, то есть сын или потомок Демки. А типовой фамильный суффикс -ский добавляет значение «выходец из местности, связанной с этим человеком», либо просто оформляет фамилию по польско-украинской модели. Таким образом, Демчинский — это «потомок Демки, выходец из села или двора Демчина».

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским землям. Суффикс -ский здесь не столько дворянский, сколько региональный: на Волыни, Подолье и в Беларуси так оформляли фамилии крестьян и мещан, реже — шляхты. Встречаются и топонимические параллели: например, село Демчин в Житомирской области. В таком случае фамилия могла возникнуть независимо от имени — по названию населённого пункта.

В написании через «к» (Демчинкий) нет исторического смысла: это либо ошибка переписчика, либо результат аканья и оглушения, когда мягкое «с» перед «к» стало звучать как твёрдое. В дореволюционных метриках изредка фиксировали «Демчинкiй», но это не отдельная фамилия, а орфографический вариант. Если вы носитель именно такого написания, скорее всего, ваши предки были малограмотны или писарь записывал на слух.

Никакого ремесла или прозвища за фамилией не стоит — только имя Демка, которое было чрезвычайно популярно в XVI–XVII веках. Дворянского герба Демчинские не имели (это не родовая фамилия, а массовая), хотя отдельные выходцы из духовенства или казачьей старшины могли носить её уже в XVIII веке.