Фамилия Деревяшкиа — редкий случай, когда написание подсказывает путь разбора быстрее, чем произношение. Конечное -а выдает в ней форму родительного падежа множественного числа, застывшую в фамилии. Такая модель характерна для украинской и белорусской ономастики: Деревяшк(и) → Деревяшкиа, то есть «из рода Деревяшек». В русской традиции аналогичная фамилия скорее получила бы суффикс -ов или -ин (Деревяшков, Деревяшкин).

Основа фамилии — прозвище Деревяшка. В говорах так могли назвать человека за внешность (худой, прямой, «как палка»), за упрямство («деревянный характер») или за профессию. Деревяшками в некоторых регионах называли мастеров, работающих с деревом, — плотников, столяров, бондарей. Но чаще прозвище носило бытовой, описательный характер, а не ремесленный: в документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские люди с таким прозвищем, и ремесло у них не всегда связано с деревом.

География фамилии подсказывает, что ее корни — в западных и южных землях бывшей Речи Посполитой. Форма на -а (не на -о) и родительный падеж в основе — типичные черты украинских фамилий. В России фамилия Деревяшкиа встречается единично, чаще всего у потомков переселенцев с Украины или из Беларуси. Встречаются варианты написания через «о» — Деревяшко, но это уже другая модель, суффиксальная, а не падежная.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта форма не описана как типовая для великорусской традиции. Это подтверждает ее региональное, диалектное происхождение. Если ваш предок носил фамилию Деревяшкиа, скорее всего, он происходил из среды украинского или белорусского крестьянства, а прозвище Деревяшка дали ему либо за внешнюю «негнущуюся» стать, либо за работу с деревом.