Фамилия Добра — редкий случай в русской ономастике, когда фамилия застыла в краткой форме прилагательного женского рода. Обычно такие фамилии встречаются в южнославянских языках (сербском, болгарском), а в русской традиции они почти всегда обрастали суффиксами (-ов, -ин). Поэтому первая версия, которая приходит в голову: перед нами русифицированная западно- или южнославянская фамилия, либо же её носительница — женщина, а фамилия досталась ей по отцу, чья фамилия звучала как Доброй или Добрый.

Однако если копать глубже, то корень здесь один — прозвище Добрый. В старину слово «добрый» имело не только привычное нам значение «хороший, отзывчивый», но и «видный, толстый». Добрым могли прозвать человека полного, белотелого, дородного — в те времена полнота считалась признаком здоровья и достатка. Так что предок носителей фамилии мог быть как добрым по характеру, так и просто «добрым» по комплекции.

Словообразовательная модель проста: основа «добр-» плюс окончание «-а», которое указывает на женский род. В русских фамилиях такое окончание встречается редко и чаще всего указывает на украинское или белорусское происхождение (ср. фамилии типа Бондаря, Коваля, где «-а» — это родительный падеж). Но в случае с «Добра» окончание «-а» — это, скорее всего, именительный падеж краткого прилагательного, что сближает фамилию с южнославянскими моделями.

В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова подобная форма не фиксируется как исконно русская, что подтверждает её нерусское или позднее происхождение. Возможно, фамилия возникла в среде переселенцев или как искусственное образование при записи в церковных книгах. В любом случае, это нечастая фамилия, и её носители могут с равной вероятностью оказаться потомками полного крестьянина, доброго человека или выходцев с Балкан.