Фамилия Догонаш — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение напрямую связано с тюркскими языками, и, скорее всего, она имеет не русские, а, например, крымскотатарские, ногайские или кумыкские корни. В основе фамилии лежит тюркское слово «доган» (doğan) — «сокол» (часто в значении «ловчий сокол», «кречет»). Суффикс «-аш» в тюркских языках может указывать на уменьшительно-ласкательную форму или на принадлежность, что в сумме даёт значение «соколёнок» или «сын сокола». Таким образом, Догонаш — это не просто птица, а прозвище или родовое имя, подчёркивающее сходство человека с этой гордой и быстрой птицей: острое зрение, стремительность, благородство.

Модель образования здесь интересна тем, что суффиксальный способ (-аш) не характерен для славянских фамилий, где чаще встречаются окончания -ов/-ев. Это подсказывает, что фамилия могла оформиться уже на русской почве из тюркского прозвища, но без добавления русского фамильного суффикса. Встречаются и варианты написания — Догонашев, Догонашев, где к основе уже добавили русский патронимический суффикс, но исходная форма Догонаш сохранила более архаичный и этнически окрашенный вид.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Крыму. Вероятнее всего, предки носителя фамилии были выходцами из Крымского ханства или степных ногайских кочевий, которые после присоединения этих земель к Российской империи переходили к оседлости и получали фамилии по своим прозвищам. Встречается она и среди кубанских казаков, где заметен тюркский субстрат.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает прояснить картину. Фамилии Доганов, Доган, Доганин, Доганбеков — все они восходят к тому же «догану». Но Догонаш среди них выделяется: это не просто «сокол», а именно «соколёнок» — форма, которая могла быть дана младшему сыну или человеку с юношеским задором. Если Доганов мог получить фамилию взрослый охотник, то Догонаш — скорее прозвище подростка или человека небольшого роста, но с «соколиным» характером.

Социальный статус предков, скорее всего, был невысоким: фамилия не княжеская и не боярская. Носители Догонаш — это, как правило, выходцы из крестьян, казаков или служилых людей «по прибору», которые либо сами носили тюркское прозвище, либо унаследовали его от отца. В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается редко, что подтверждает её локальный и немногочисленный характер. Сегодня она остаётся штучной — её можно найти в Крыму, Краснодарском крае, Ростовской области, а также среди потомков крымскотатарских эмигрантов в Турции и Румынии.