Фамилия Догонашев — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а глагол движения. Её ядро — «догонять», и это сразу задаёт направление поиска: перед нами прозвище, которое человек получил за какую-то манеру поведения или внешнюю особенность.

Словообразовательная модель здесь прозрачна. Глагольная основа «догон-» (от «догонять») соединяется с суффиксом -аш-, который в русских фамилиях встречается нечасто. Чаще мы видим -к- (Догонкин), -ов- (Догонов) или -ин- (Догонин). Суффикс -аш- вносит оттенок пренебрежительности или фамильярности: так могли назвать того, кто постоянно спешит, пытается кого-то настичь, или, наоборот, того, кто сам убегает и его догоняют. В некоторых говорах «догонаша» — шутливое прозвище непоседы или человека с быстрой походкой.

Вероятно, фамилия закрепилась в южнорусских или украинских регионах, где суффикс -аш- более характерен для прозвищ (сравните с фамилиями Гуляшев, Бегашев, Леташев). Севернее и восточнее такие основы чаще оформлялись через -ов или -ев. Географическая привязка Догонашевых, если судить по современным данным, тяготеет к Поволжью и Центральной России, но это могло быть результатом поздних миграций.

Вторая, менее правдоподобная версия — связь с диалектным словом «догон» (дополнительная порция, прибавка). В этом случае прозвище мог получить человек, который постоянно просил добавки или был жадным до еды. Однако глагольная основа и суффикс -аш- говорят скорее в пользу первого варианта: фамилия описывает действие, а не предмет.

Фамилия Догонашев не относится к числу древних аристократических — её нет в боярских списках или родословных книгах. Скорее всего, она возникла в крестьянской или посадской среде в XVII–XVIII веках, когда прозвища активно превращались в фамилии. В документах она встречается редко, что делает её интересной для локальной генеалогии: если вы носите эту фамилию, поиск предков, вероятно, приведёт в одно конкретное село или волость.