Фамилия Доганашев — редкая и неочевидная. Её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса: перед нами не стандартное -ов, а более редкий формант -ев, который обычно присоединяли к основам на мягкий согласный или на -й. Но в данном случае основа оканчивается на шипящий -ш, что для фамилий на -ев нехарактерно. Скорее всего, перед нами не исконно русская модель, а адаптация тюркского или кавказского имени или прозвища.

Корень «Доган» в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, турецком) означает «сокол», «ястреб». Это распространённое личное имя-оберег, которое давали мальчикам, желая им зоркости, силы и свободы, как у хищной птицы. В таком случае Доганашев — это «сын Доганаша», где -аш — уменьшительный или ласкательный суффикс в тюркских именах. То есть исходное прозвище «Доганаш» означало «соколик», «соколёнок».

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: связь с глаголом «догонять» или «догнать». Тогда Доганашем могли прозвать быстрого, неутомимого человека, который всех нагонял. Однако против этой версии говорит суффикс -аш, который в русских прозвищах почти не встречается с таким значением, а в тюркских — сплошь и рядом. Поэтому основная гипотеза — тюркское происхождение с птичьей символикой.

Носители фамилии Доганашев исторически тяготеют к Поволжью, Приуралью и Северному Кавказу — регионам, где веками шло смешение славянского и тюркского населения. Фамилия могла закрепиться у крещёных татар, башкир или ногайцев, перешедших в православие и получивших фамилию по имени отца. Сословно это, скорее всего, были государственные крестьяне или казаки, а не дворяне — в родословных книгах Доганашевы не встречаются.

Что касается написания: в старых документах фамилию могли записывать как Доганашевъ, а в разговорной речи — с ударением на второй слог (Догáнашев) или на третий (Догана́шев). Спорных версий здесь немного, и тюркская гипотеза объясняет фамилию куда проще и надёжнее, чем попытки вывести её из русского глагола.