Фамилия Драгаев — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, в её основе лежит не славянское, а тюркское или кавказское имя или прозвище. Суффикс -ев указывает на русскую модель образования: такую фамилию получили потомки человека, которого звали Драгай.

Самая вероятная версия связывает основу «Драга» с тюркским словом turağay или torağay — «жаворонок». В тюркских языках это слово могло звучать как «Торагай» или «Драгай», а у русских переписчиков превратилось в прозвище Драгай. Прозвища по названиям птиц были распространены повсеместно: так могли назвать певучего человека, любителя петь, или же того, кто рано вставал. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия Драгаев встречается в регионах, где исторически сильны тюркские влияния, например, на Северном Кавказе и в Поволжье.

Вторая, менее вероятная гипотеза — связь с южнославянским словом «драг» (дорогой, милый). В этом случае Драгаев могло бы быть отчеством от личного имени Драго или Драган, популярного у болгар, сербов и хорватов. Однако для русского ономастикона такая форма (с ударением на втором слоге) нетипична: славянские фамилии на -аев обычно образуются от основ на -ай (Толмай → Толмаев), а не от «драг». К тому же, в русских говорах слово «драгай» не зафиксировано в значении «дорогой».

Исключать полностью искажение исходной фамилии при записи тоже нельзя. В дореволюционных документах фамилию могли записать на слух: Драгаев, Драгай, Драганов — варианты одного корня. Если ваши предки жили в казачьих областях или в среде терских казаков, стоит поискать фамилию в списках однодворцев или казачьих реестрах XIX века — там тюркские прозвища были обычным делом.

Таким образом, носитель фамилии Драгаев, скорее всего, происходит от человека, которого в русской среде прозвали Драгаем — «жаворонком». Это прозвище могло указывать на его звонкий голос, ранний подъём или просто на любовь к пению.