Фамилия Другановские (в исходной форме — Другановский) — нечастая, и её происхождение не стоит сводить к единственной версии. Скорее всего, перед нами два независимых корня, которые сошлись в одной словообразовательной модели.

Первый и самый очевидный путь — от древнерусского нецерковного имени Друган. В старину имя Друг или Дружина давали не в честь святого, а как пожелание: чтобы человек был верным товарищем, опорой. Слово «дружина» тогда означало не только княжеский отряд, но и вообще «друга, спутника». От этого имени через типичный украинский суффикс -ан (Друган) и фамильный формант -овский и получилась фамилия. Такая модель (имя + -ан + -овский) характерна для западнорусских и украинских земель, где любили образовывать фамилии от уменьшительных или ласкательных форм имён.

Вторая версия ведёт к топониму. В Болгарии, в Перникской области, есть село Друган. Болгарское слово «друг» означает «другой», то есть название села могло указывать на «иное», отдельное поселение. Выходец из этого села, переселившись на украинские или белорусские земли, мог получить прозвище Другановский — по месту прежнего жительства. Такая схема (топоним + -ский) — классический признак шляхетских или казацких фамилий, указывающих на родовое поместье или вотчину.

Обратите внимание на окончание -ский. В отличие от простых -ов и -ин, которые в России носили крестьяне и мещане, фамилии на -ский в XVI–XVII веках чаще принадлежали служилому сословию, мелкой шляхте и казацкой старшине. Это не значит, что все Другановские — дворяне, но указывает на вероятную социальную среду возникновения: юго-западные земли Речи Посполитой, где фамилии на -ский были нормой для землевладельцев.

Что из этого правдоподобнее? Имя Друган встречается в древнерусских грамотах, и от него образовано несколько фамилий (Друганов, Дружинин). Болгарская версия возможна, но менее вероятна для массового бытования фамилии в украинском контексте: слишком далёк топоним. Скорее всего, большинство носителей фамилии Другановские ведут род от человека по прозвищу Друган, а уже потом, при оформлении фамилии, добавился польско-шляхетский суффикс -овский.