Фамилия Друзгина — женская форма фамилии Друзгин, и её разбор стоит начать с суффикса. Это «-ин», а не более распространённое «-ов». Суффикс «-ин» в русских фамилиях обычно присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я, а также к прозвищам и именам, обозначавшим лицо или животное: Друзгин значит «сын (или потомок) Друзги». Сама основа «Друзг-» — редкая и неочевидная.

Самая правдоподобная версия: в основе лежит прозвище Друзга. В русских говорах «друзга» — это щепка, лучина, иногда — хворост, мелкий сухой лес. В переносном смысле так могли назвать худого, сухопарого человека (как щепка) или того, кто занимался заготовкой лучины, колкой дров. В северных и сибирских говорах слово «друзга» означало ещё и «дрязг», «сор», «мусор» — отсюда могло пойти прозвище неопрятного человека. Таким образом, фамилия Друзгин — прозвищная, от бытового, внешнего или профессионального признака предка.

Есть и менее вероятная, но возможная связь с глаголом «друзгать» (дразнить, язвить, бранить). В этом случае Друзга — человек с острым языком. Однако «друзгать» — слово редкое, встречается в основном в курских и орловских говорах, что сужает географию возможного происхождения.

Фамилия Друзгин не относится к числу дворянских или «громких» — она из крестьянской или мещанской среды. Её носители чаще всего встречаются в центральных и северных областях России: в Вологодской, Архангельской, Костромской губерниях, где слово «друзга» в значении «щепка» было в ходу. Встречается она и в Поволжье, но значительно реже.

У фамилии есть однокоренные «собратья»: Друзганов, Друзгалов, Друзгинский. Все они восходят к той же основе «друзг-», что говорит о едином корне прозвища. Сравнение с ними показывает: Друзгин — самая короткая и прямая форма, без дополнительных суффиксов, что указывает на её древность и бытовое происхождение.

Итог: фамилия Друзгина происходит от прозвища Друзга, которое дали либо худому человеку, либо тому, кто колол лучину. Это типичная «лесная» фамилия северных регионов, без претензий на аристократизм, но с ясным и живым корнем.